Teoría

Definición del concepto de recta

El concepto de recta se expresa de distintas maneras a lo largo de la historia, principalmente debido al contexto en el que se genera. Por un lado tenemos la definición formal de la recta en la geometría analítica la cual afirma que una recta es el conjunto de todos los puntos del pano, donde las coordenadas de cada punto obedecen una relación de primer grado; también existe la definición de la geometría euclidiana: "Una linea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella"; y si añadimos la definición analítica, una recta viene a ser la unión de un vector dado entre dos puntos que siguen la misma dirección del vector original unitario. 

¡No confundas recta con segmento!

Una recta es una linea recta infinita: no tiene ningún limite. Como eso seria imposible de representar, dibujamos las rectas sin punto en ninguno de sus extremos, entendiendo que no terminan ahí sino que continúan hasta el infinito. Para darle nombre a una recta, utilizamos letras minúsculas, observa el siguiente ejemplo:

Mientras que, a la hora de limitar esta recta con dos extremos, pasa de ser una recta a un segmento de recta, siendo ambos extremos el ultimo punto de la recta a cada lado. Estos puntos, o extremos, los llamamos con letras mayúsculas y llamamos al segmento por sus dos extremos.

Ejemplo: 

Ecuación de la recta:

Considérese una recta con pendiente m y que pase por el punto (X₀,Y₀). Cualquier otro punto (X,Y) que pertenezca a la recta, debe cumplir con la relación m=Y-Y₀ / X-X₀

De la anterior igualdad se desprenden dos ecuaciones:

1. Ecuación punto-pendiente: Y-Y₀ = m(X-X₀) 

2. Ecuación pendiente-intersecto: Y=mX + b, con b=Y₀ - mX₀

Ecuación general de la recta:

Toda recta en el plano tiene una ecuación de la forma Ax + By = C

Recíprocamente, toda ecuación de la forma Ax + By = C, con A y B no simultáneamente nulos, representa una recta de la siguiente forma: 

Forma punto-pendiente 

Un tipo de ecuación lineal es la forma punto-pendiente, la cual nos proporciona la pendiente de una recta y las coordenadas de un punto en ella. La forma punto-pendiente de una ecuación lineal se escribe como.  En ésta ecuación, m es la pendiente y (x₁, y₁) son las coordenadas del punto. 

Veamos de dónde es que viene ésta fórmula de punto-pendiente. Aquí está la gráfica de una recta genérica con dos puntos trazados en ella.

La pendiente de la recta "aumenta conforme va". Ése es el cambio vertical entre dos puntos (la diferencia entre las coordenadas en y) dividida entre el cambio horizontal sobre el mismo segmento (la diferencia entre las corneadas en x). Esto puede escribirse como Ésta ecuación es la fórmula de la pendiente.

Ahora digamos que uno de esos puntos es un punto genérico (x, y), lo cual significa que puede ser cualquier punto en la recta, y el otro punto es un punto específico, . Si sustituimos éstas coordenadas en la fórmula, obtenemos . Ahora podemos manipular un poco la ecuación al multiplicar ambos lados de la fórmula por . Que se simplifica a .

 es el punto-pendiente de la fórmula. Hemos convertido la fórmula de la pendiente en la fórmula punto-pendiente.

Definición del concepto de recta tangente: 

La recta tangente es aquella recta que presenta un único punto en común con una curva, es decir, el punto de tangencia, siendo este el punto que genera la pendiente de la curva.

Ecuación de la recta tangente

La recta tangente a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a,f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

y - f (a) = f '(a) (x - a)

Definición del concepto de derivada: 

La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por eso se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado.

La derivada de una función nos da la pendiente de la recta tangente a la función en cualquier punto de la gráfica. Esto puede usarse para encontrar la ecuación de esa recta tangente.