EN LÍNEA RECTA: Ejercicios resueltos

La recta

Ejercicio 1:

Hallar la ecuación de la recta $r$ , que pasa por $A(1, 5)$ , y es paralela a la recta $s\equiv 2x+y+2=0$ .

representación gráfica de dos rectas paralelas

Solución:

$m_{r}=m_{s}=\frac{-2}{1}$
$y-5=-2\cdot (x-1)$
$2x+y-7=0$

Ejercicio 2:

Los puntos $A(-1, 3)$ y $B(3, -3)$ , son vértices de un triángulo isósceles $ABC$ que tiene su vértice $C$ en la recta $2x-4y+3=0$
siendo $AC$ y $BC$ los lados iguales. Calcular las coordenadas del vértice $C$ .

representacion grafica de triangulo isosceles en problema de la recta

Solución:

Ejercicio 3:

De un paralelogramo $ABCD$ conocemos $A(1, 3), B(5, 1), C(-2, 0)$ . Halla las coordenadas del vértice $D$ .

representación gráfica de un paralelogramo abcd

Solución:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$
$\left ( x_{D}-1,y_{D}-3 \right )=\left ( -2-5,0-1 \right )$
$x_{D}-1=-7$ $y_{D}-3=-1$
$D=\left ( -6,2 \right )$

Calcula la derivada de las funciones

Ejercicio 4:

De un paralelogramo se conoce un vértice, $A(8, 0)$ , y el punto de corte de las dos diagonales, $Q(6, 2)$ . También sabemos que otro vértice se encuentra en el origen de coordenadas. Calcular:

representacion grafica de paralelogramo y coordenadas del vertice

1Los otros vértices.

$M$ es el punto medio de $\overline{OB}$
$\left ( 6,2 \right )=\left ( \cfrac{0+x_{B}}{2},\cfrac{0+y_{B}}{2} \right )$
$6=\cfrac{0+x_{B}}{2}$ $2=\cfrac{0+y_{B}}{2}$
$B(12,4)$
$M$ es el punto medio de $\overline{AC}$
$\left ( 6,2 \right )=\left ( \cfrac{8+x_{C}}{2},\cfrac{0+y_{C}}{2} \right )$
$6=\cfrac{8+x_{C}}{2}$ $2=\cfrac{0+y_{C}}{2}$
$C(4,4)$

2Las ecuaciones de las diagonales.
Ecuación de $AC$
$\cfrac{x-8}{4-8}=\cfrac{y-0}{4-0}$ $x+y-8=0$
Ecuación de $OB$
$\cfrac{x-12}{12-0}=\cfrac{y-4}{4-0}$ $x-3y=0$

3La longitud de las diagonales.
$AC=\sqrt{\left ( 4-8 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}=4\sqrt{2}$

$OB=\sqrt{\left ( 12-0 \right )^{2}+\left ( 4-0 \right )^{2}}=4\sqrt{10}$

Ejercicios 5:

La recta $r\equiv 3x+ny-7=0$ pasa por el punto $A(3, 2)$ y es paralela a la recta $s\equiv mx+2y-13=0$ . Calcula $m$ y $n$ .
$A$ $\LARGE \epsilon$ $r$
$3\cdot 3+n\cdot 2-7=0$ $n=-1$
$r\parallel s$
$\cfrac{3}{m}=\cfrac{-1}{2}$ $m=-6$

Ejercicio 5:

Las reservas probadas de un mineral en cierto país en los actuales momentos son de 12,5 millones de toneladas. Si la explotación se mantiene constante en 20.000 toneladas al mes y no hay nuevas exploraciones que aumenten las reservas probadas
a Justifique que hay una relación lineal entre las reservas y el tiempo.
b Consiga esa relación lineal.
c ¿Cuándo se acabarán las reservas probadas?

Solución:

a.Como el cambio de las reservas es constante por mes (t) entonces hay una relación lineal entre ellas. Reiteramos, cada mes, las reservas disminuyen la misma cantidad.

b. Establecemos la variable dependiente

y : cantidad de reservas del mineral.

Recuerde que debemos trabajar con una única unidad de medida de la cantidad de reservas de mineral. Mediremos la cantidad de reservas en millones de toneladas al mes. En este caso, la cantidad -20.000 toneladas al mes representa la razón de cambio de las reservas en toneladas por mes (por una unidad de cambio en t). Expresamos esta cantidad en millones de toneladas por mes, así m=-0.02 millones de toneladas por mes.

Para conseguir la ecuación de la recta hace falta un punto (t,y). Como dan la información que hay 12,5 millones en los momentos actuales, tomamos ésta como la coordenada y de las reservas y como el tiempo es medido a partir de los momentos actuales, entonces la coordenada t es igual a 0. Así, la recta pasa por (0,12.5).

Para encontrar la ecuación de la recta se puede usar la ecuación punto-pendiente o la ecuación pendiente-ordenada en el origen pues 12,5 es la ordenada en el origen. Usamos la segunda:

y=mt+ b
Al sustituir los valores se obtiene:

y=-0,02 t+12,5 millones de toneladas

c. Se acabarán las reservas cuando y=0

Sustituimos este valor en la ecuación encontrada en b):

0=-0,02 t+12,5

Se despeja t

t=12,5/0,02=625 meses
Esta cantidad de meses equivale a 52 años.

En conclusión: en 52 años se acabarán las actuales reservas probadas con el ritmo de producción actual

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